Question

已知抛物线y²=4x的准线与双曲线

x2

a2

-y2=1交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．

解答：解：依题意知抛物线的准线x=-1．代入双曲线方程得
y=±

1-a2

a

．
不妨设A（-1，

1-a2

a

），
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴

1-a2

a

=2，解得：a=

5

5

，
∴c²=a²+b²=

1

5

+1=

6

5

，
∴e=

6

故答案为：

6

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形．