Question

已知函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与两坐标轴的交点处的切线相互平行．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

对任意不等于1的正实数都成立，求实数m的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值
（2）不等式

x-m

g(x)

＞

x

对任意不等于1的正实数都成立，即当x＞1时m＜x-

x

lnx恒成立；当0＜x＜1时得m＞x-

x

lnx恒成立．构造新函数φ(x)=x-

x

lnx，求其在[1，+∞）的最小值，在（0，1]上的最大值即可

解答：解：（1）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

．
y=f（x）的图象与坐标轴交于点（0，a）；y=g（x）的图象与坐标轴交于点（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴a=

1

a

．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①当x＞1时，由

x-m

lnx

＞

x

得m＜x-

x

lnx恒成立．
令φ(x)=x-

x

lnx，则φ′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

．
令h(x)=2

x

-2-lnx，则h′(x)=

1

x

(1-

1

x

)＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上递增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上递增．
∴m≤φ（1）=1．
②当0＜x＜1时，由

x-m

lnx

＞

x

得m＞x-

x

lnx即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上递增．
∴m≥φ（1）=1．
综合①②得m=1．

点评：本题综合考查了导数的几何意义及导数在解决恒成立问题、最值问题中的应用，解题时要善于构造新函数解决不等式恒成立问题，计算要认真细致