Question

{x_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，

opi

=（x_i，

1

xi

），（i=1，2，…，n），

op

=

n

i=1

opi，

om

=(0，t)，若

op

⊥

om

，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：根据向量的坐标运算法则和等比数列求和公式，算出

op

=

n

i=1

opi=（2-

1

2n-1

，2ⁿ-1），由

op

⊥

om

建立关于t、n的等式，解出t=

1

2n-1

，最后根据n∈N^*计算分式函数的值域，即可求得实数t的取值范围．

解答：解：∵{x_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，

opi

=(xi，

1

xi

)（i=1，2，…，n），
∴

op

=

n

i=1

opi=（x₁+x₂+…+x_n，

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）
=（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

，1+2+2²+…+2^n-1）
=（

1-( 1 2 )n

1- 1 2

，

1-2n

1-2

）=（2-

1

2n-1

，2ⁿ-1）
∵

op

⊥

om

，

om

=(0，t)
∴（2-

1

2n-1

）•0+（2ⁿ-1）•t=0，解得t=

1

2n-1

∵n∈N^*，∴2ⁿ-1≥1，可得

1

2n-1

∈（0，1]，即实数t的取值范围为（0，1]．

点评：本题着重考查了向量的坐标运算法则、向量数量积公式及其运算性质、等比数列的通项与求和、函数值域的求法等知识，属于中档题．