已知椭圆的离心率.分别为椭圆的长轴和短轴的端点.为中点.为坐标原点.且.(1)求椭圆的方程,(2)过点的直线交椭圆于两点.求面积最大时.直线的方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆的离心率，分别为椭圆的长轴和短轴的端点，为中点，为坐标原点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积最大时，直线的方程.

（1）；（2）直线的方程为.

解析试题分析：（1）利用椭圆的性质，弦长可得，，由此可求，故椭圆的方程为；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，设直线的方程为，联立方程得，所以可写出
设，则，则，其中，易证单调减，当时，的最大值为.所以，此时，直线的方程为.
（1）∵∴①                    2分

∴    ②，
∴由①②得
∴椭圆的方程为                    4分
（2）设直线的方程为
由
                   7分

设，则
则，其中
易证单调减，当时，的最大值为         10分
∴
此时，直线的方程为        12分
考点：椭圆的性质、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、三角形的面积公式、勾函数的性质、换元法.

练习册系列答案

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已知椭圆点，离心率为，左右焦点分别为
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.

已知曲线E上任意一点P到两个定点F₁(－，0)和F₂(，0)的距离之和为4．
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点(0，－2)的直线l与曲线E交于C、D两点，且·＝0(O为坐标原点)，求直线l的方程．

设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上焦点是F₁，过点P(3,4)和F₁作直线PF₁交椭圆于A，B两点，已知A(，)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点C是椭圆E上到直线PF₁距离最远的点，求C点的坐标．

如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x²＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

已知F₁，F₂是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足＋＝0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上任一动点N(x₀，y₀)关于直线y＝2x的对称点为N₁(x₁，y₁)，求3x₁－4y₁的取值范围．

已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.

圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.
（1）求的方程；
（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.

（14分）（2011•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l₁与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l₁的斜率k的取值范围．

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