题目内容

已知两圆C1:x2+y2-2y=0,C2:x2+(y+1)2=4的圆心分别为C1,C2,P为一个动点,且直线PC1,PC2的斜率之积为-
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(1)求动点P的轨迹M的方程;
(2)是否存在过点A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D,使得|C1C|=|C1D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由两圆C1:x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1;C2:x2+(y+1)2=4,得两圆的圆心坐标分别为C1(0,1),C2(0,-1).设动点P的坐标为(x,y),利用斜率计算公式可得直线kPC1=
y-1
x
(x≠0),kPC2=
y+1
x
(x≠0)
,再利用已知化简即可.
(2)由题意可设直线l的方程为y=k(x-2)与椭圆的方程联立得到根与系数的关系.要使|C1C|=|C1D|,必须C1N⊥l,即k•kC1N=-1.看是否有解即可.
解答:解:(1)由两圆C1:x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1;C2:x2+(y+1)2=4.
得两圆的圆心坐标分别为C1(0,1),C2(0,-1)
设动点P的坐标为(x,y),则直线kPC1=
y-1
x
(x≠0),kPC2=
y+1
x
(x≠0)

由已知得
y-1
x
y+1
x
=-
1
2
(x≠0)
,即
x2
2
+y2=1(x≠)

所以动点P的轨迹M的方程为
x2
2
+y2=1(x≠0)

(2)假设存在满足条件的直线l.
∵点A(2,0)在椭圆M的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆M无交点,
因此直线l斜率存在,设为k,
则直线l的方程为y=k(x-2)
由方程组
x2
2
+y2=1
y=k(x-2)
得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0    ①
依题意△=-8(2k2-1)>0解得-
2
2
<k<
2
2

当得-
2
2
<k<
2
2
时,设交点C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为N(x0,y0),
由①可得x1+x2=
8k2
2k2+1

x0=
x1+x2
2
=
4k2
2k2+1

y0=k(x0-2)=k(
4k2
2k2+1
-2)
=
-2k
2k2+1
                
要使|C1C|=|C1D|,必须C1N⊥l,即k•kC1N=-1
∴∴k•
-2k
2k2+1
-1
4k2
2k2+1
-0
=-1
,即k2-k+
1
2
=0
   ②
1=1-4×
1
2
=-1<0
或,∴k2-k+
1
2
=0
无解.           
所以不存在直线l,使得|C1C|=|C1D|.
综上所述,不存在直线l,使得得|C1C|=|C1D|.
点评:本题综合考查了圆的性质、椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、垂直与斜率的关系等基础知识与基本技能,考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力.
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