Question

已知圆M：(x+

3

2

x)2+y2=

9r2

4

，点N（3r，0），其中r＞0，设P是圆上任一点，线段PN上的点Q满足

PQ

QN

=

1

2

（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若点Q对应曲线与x轴两交点为A，B，点R是该曲线上一动点，曲线在R点处的切线与在A，B两点处的切线分别交于C，D两点，求AD与BC交点S的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设点Q的坐标为（x，y），由题设条件求出点P的坐标为(

3(x-r)

2

，

3

2

y)，代入圆M的方程化简就能得到所求点Q的轨迹方程．
（2）设点R的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），则x₀²+y₀²=r²．由题设条件可求得C、D两点的坐标为C(-r，

r2+x0r

y0

) ，D(r，

r2-x0r

y0

)，
再由直线BC、AD的方程分别为y=

r2+x0r

-2r2y02

(x-r)，y=

r2-x0r

2ry0

(x+r)，两式相乘，得y2=

r2(r2-x02)

-4r2y02

(x2-r2)，化简就能得到所求点S的轨迹方程．

解答：解：（1）设点Q的坐标为（x，y），∵

PQ

QN

=

1

2

，N（3r，0），
∴点P的坐标为(

3(x-r)

2

，

3

2

y)，代入圆M的方程化简得x²+y²=r²即为所求点Q的轨迹方程．
（2）设点R的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），则x₀²+y₀²=r²．
圆在R点处的切线方程为：x₀x+y₀y=r²．
又切线AC、BD的方程分别为x=-r，x=r，
解方程组可得C、D两点的坐标为C(-r，

r2+x0r

y0

) ，D(r，

r2-x0r

y0

)，
∴直线BC、AD的方程分别为y=

r2+x0r

-2r2y02

(x-r)，y=

r2-x0r

2ry0

(x+r)，
两式相乘，得y2=

r2(r2-x02)

-4r2y02

(x2-r2)，化简得x²+4y²=r²（y≠0）．
∴所求点S的轨迹方程为x²+4y²=r²（y≠0）．

点评：本题考查轨迹方程，有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，耐心寻找数量间的相互关系，注意公式的灵活运用．