Question

已知圆M过三点（1，2），（0，1），（-

3

2

，

3

2

），直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，切点为A．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设经过A，P，M三点的圆为圆Q，问圆Q是否过定点（不同于M点），若有，求出所有定点的坐标；若没有，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出圆的一般方程，代入三点坐标，直接求圆M的方程；
（Ⅱ）（2）设P（2m，m），MP的中点 Q（m，

m

2

），因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．设经过A，P，M三点的圆为圆Q，问圆Q是否过定点（不同于M点），若有，求出所有定点的坐标；若没有，说明理由．

解答：解：（Ⅰ）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，因为圆M过三点（1，2），（0，1），(-

3

2

，

3

2

)．
∴

1+4+D+2E+F=0 1+E+F=0 3 4 + 9 4 - 3 2 D+ 3 2 E+F=0

，
解得

D=0 E=-4 F=3

，
故所求圆M的方程为：x²+y²-4y+3=0；
（II）圆的标准方程为x²+（y-2）²=1，M（0，2），
设P（2m，m），MP的中点Q（m，

m

2

+1），因为PA是圆M的切线
∴经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x-m)2+(y-

m

2

-1)2=m2+(

m

2

-1)2，
化简得：x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，
故

x2+y2-2y=0 2x+y-2=0

解得

x=0 y=2

或

x= 4 5 y= 2 5

即（0，2）和（

4

5

，

2

5

）．
故圆过定点的坐标是：（0，2）和（

4

5

，

2

5

）．

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．