题目内容

若直角坐标平面内不同的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（x）=
log2x(x＞0)
-x2-4x(x≤0)
y=f（x）的图象上
②P，Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数Y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（　　）对．
分析：根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=-x2-4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x，（x＞0）交点个数即可．
解答：解：根据题意：当x＞0时，-x＜0，
则f（-x）=-（-x）2-4（-x）=-x2+4x，
则函数y=-x2-4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2-4x（x≥0）
由题意知，作出函数y=x2-4x（x≥0）的图象及函数f（x）=log2x，（x＞0）的图象如下图所示
由图可得两个函数图象共有两个交点，
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即函数f（x）的“友好点对”有2对，
故选C．
点评：本题考查了奇偶函数图象的对称性，体现了数形结合思想，解答的关键是对“友好点对”的理解，合理的利用图象解决．
练习册系列答案
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已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）的距离为d2，且
d2
d1
=
2
2
．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l1：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线l1：x=-
a2
c
、点F（-c，0）、曲线C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，c=
a2-b2
)，则使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断
 
 （填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．
若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件①M、N都在函数y=f（x）的图象上；②M、N关于原点对称．
则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．
已知函数f（x）=
log3x   x＞0
-x2-4x  x≤0
，此函数的“友好点对”有（　　）
设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+
2
)j，b=xi+(y-
2
)，且|a|+|b|=4．
（I）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（II）若轨迹C上在第一象限的一点P的横坐标为1，作斜率为
2
的直线l与轨迹C交于不同两点A、B，求△PAB面积的最大值．

若直角坐标平面内不同的两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（     ）对．

 A．                B．                  C．         D． 

 

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