题目内容

已知直线l:y=kx+b,曲线M:y=|x2-2|.
(1)若k=1且直线与曲线恰有三个公共点时,求实数b的取值;
(2)若b=1,直线与曲线M的交点依次为A,B,C,D四点,求|AB+|CD|的取值范围.
分析:(Ⅰ)由题意知,直线和半圆只有一个交点或直线过点(-
2
,0),两种情况分别求出实数b的取值.
(Ⅱ)先利用弦长公式求出直线和抛物段的2个交点间的距离AD的长度,同理求出直线与半圆的2个交点间的距离
BC的长度,利用|AB|+|CD|=|AD|-|BC|求出|AB+|CD|的取值范围.
解答:精英家教网解(Ⅰ)分两种情况:
1)
y=x+b
y=-x2+2
有惟一解,即x2+x+b-2=0在(-
2
2
)内有一解,
由△=1-4b+8=0,得 b=
9
4
,符合.
2)直线过点(-
2
,0),得0=-
2
+b,得b=
2

综上,实数b为
9
4
 或
2

(Ⅱ)由
y=x2-2|x|≥
2
y=kx+1
,得x2-kx-3=0,
则有:|AD|=
(k2+1)(k2+12)
,且  -
2
2
<k<
2
2

y=-x2+2|x|<
2
y=kx+1
,得 x2+kx-1=0,则有:|BC|=
(k2+1)(k2+4)

所以,|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=
(k2+1)(k2+12)
-
(k2+1)(k2+4)
=
8
k2+1
k2+12
+
k2+4

=
8
1+
11
k2+1
+
1+
3
k2+1
,且 -
2
2
<k<
2
2

令t=k2,则 0≤t<
1
2
,则y=
(t+1)(t+12)
-
(t+1)(t+4)
,且函数y是增函数,
所以,y∈[2
3
-2,
3
)
点评:本题考查二次函数的图象特征,直线和二次曲线的位置关系,体现了数形结合及分类讨论的数学思想,属于中档题.
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