Question

【题目】(2015·江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为了l1, l2 ， 山区边界曲线为C ， 计划修建的公路为l ， 如图所示，M ， N为C的两个端点，测得点M到l1, l2 的距离分别为5千米和40千米，点N到l1, l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1, l2所在的直线分别为x ， y轴，建立平面直角坐标系xOy ， 假设曲线C符合函数y=（其中a ， b为常数）模型.

（1）求a ， b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

Answer 1

【答案】
（1）

a=1000, b=0

（2）

①f(t)=,定义域为[5,20]②t=10, f(t)min=15千米。

【解析】由题意得函数y= 过点位(5,40), (20, 2.5)，列方程组就可解当a. b的值(2) ①求公路了长度的函数解析式}I川，就是求出直线l与x，y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可， 关键是利用导数几何意义求出直线了方程，再根据M， N为C的两个端点的限制条件得定义域为[5,20]②对函数解析式f(t)解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势.
试题解析:(1)由题意知，点M，N的坐标分别为（5,40），（20, 2.5）。将其代入y=,得, 解得a=1000, b=0 。
（2） ①由（1）知， y=(5≤x≤20), 则点P的坐标为（t,), 设在点P处的切线l交x, y轴分别于A,B点，y=-， 则l的方程为y-=-(x-t), 由此得A（,0), B(0, ).
故f(t)==,t(5,20),
②设g(t)=t2+, 则g'(t)=2t-. 令g'(t)=0，解得t=10. 当t(5,10)时，g'(t)<0， g(t)是减函数。
当t(10,20), g'(t)>0， g(t)是减函数。从而， 当t=10时, 函数g(t)有极小值，要是最小值，所以 g(t)min=300, 此时f(t)min=15。
答：当t=10时,公路l的长度最短, 最短长度为15千米。
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．