Question

定义在D上的函数f（x），如果满足；对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•2^x+4^x，g（x）=

1-2x

1+2x

．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）求函数g（x）在[0，1]上的上界T的取值范围；
（3）若函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用换元法得到函数的表示式，根据二次函数的性质得到函数的值域，从值域上观察不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数
（2）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，得到上界的取值范围．
（3）根据函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+a2^x+4^x|≤3，换元以后得到关于t的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a的范围

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=1+a•2^x+4^x，设t=2^x，所以t∈（1，+∞）
∴函数的值域是（3，+∞），不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．
（2）g（x）=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1
又x∈[0，1]，函数在此区间上是减函数，故g（1）≤g（x）≤g（0）
∴

2

3

≤g（x）≤1
故上界的取值范围是[1，+∞）
（3）由已知函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a×2^x+4^x|≤3
设t=2^x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t²|≤3
当0 ＜-

a

2

≤1时，1-

1

4

a2≥-3且2+a≤3得-2≤a＜0
当 -

a

2

≤0或-

a

2

≥1
即a≤-2或a≥0时，得-5≤a≤-2或0≤a≤1
综上有-5≤a≤1

点评：本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力．