题目内容
设m，n∈N，f（x）=（1+2x）m+（1+x）n．（Ⅰ）当m=n=2011时，记f（x）=a+a1x+a2x2+…+a2011x2011，求a-a1+a2-…-a2011；
（Ⅱ）若f（x）展开式中x的系数是20，则当m、n变化时，试求x2系数的最小值．
【答案】分析：（Ⅰ）根据题意，令x=-1，结合f（x）的表达式，可得f（-1）与a-a1+a2-…-a2011的关系，进而可得答案；
（Ⅱ）根据二项式定理，可得x的系数是2Cm1+Cn1=2m+n，结合题意，可得m、n的关系，又结合二项式定理可得x2的系数为22Cm2+Cn2=4m2-41m+190；由二次函数的性质，分析可得答案．
解答：解：（Ⅰ）在f（x）=a+a1x+a2x2+…+a2011x2011中，
令x=-1，得f（-1）=a-a1+a2-…-a2011，
又有f（-1）=（1-2）2011+（1-1）2011，
则a-a1+a2-…-a2011=-1，
（Ⅱ）因为2Cm1+Cn1=2m+n=20，所以n=20-2m，
则x2的系数为22Cm2+Cn2=
=4m2-41m+190；
所以当m=5，n=10时，f（x）展开式中x2的系数最小，最小值为85．
点评：本题考查二项式定理的运用，解此类题目注意赋值法的运用，令x=0或±1是常见的赋值思路．
（Ⅱ）根据二项式定理，可得x的系数是2Cm1+Cn1=2m+n，结合题意，可得m、n的关系，又结合二项式定理可得x2的系数为22Cm2+Cn2=4m2-41m+190；由二次函数的性质，分析可得答案．
解答：解：（Ⅰ）在f（x）=a+a1x+a2x2+…+a2011x2011中，
令x=-1，得f（-1）=a-a1+a2-…-a2011，
又有f（-1）=（1-2）2011+（1-1）2011，
则a-a1+a2-…-a2011=-1，
（Ⅱ）因为2Cm1+Cn1=2m+n=20，所以n=20-2m，
则x2的系数为22Cm2+Cn2=
=4m2-41m+190；所以当m=5，n=10时，f（x）展开式中x2的系数最小，最小值为85．
点评：本题考查二项式定理的运用，解此类题目注意赋值法的运用，令x=0或±1是常见的赋值思路．
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