Question

已知数列{a_n}是递增的等差数列，其前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）若S₅=30，求等差数列{a_n}的首项a₁和公差d．
（2）若数列{b_n}前n项和T_n=（n²+n）3ⁿ，若对?n∈N^*，?m∈N^*，使

bn

Tn

＞Sm成立，求等差数列{a_n}公差d取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式列出方程求出首项和公差．
（2）利用数列{b_n}前n项和T_n求出通项，列出不等式恒成立，，?m∈N，不等式恒成立，求出S_m的最小值，对?n∈N^*，求出

bn

Tn

的最小值，求出d的范围．

解答：解：（1）有条件可知，

a22=a1a4   S5=5a1+ 5×4 2 d=30   d＞0

?

a1=d   5a1+10d=30   d＞0

解得：a₁=d=2
（2）有条件（1）可知，a₁=d且d＞0
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n(n+1)

2

d
∵d＞0
∴S_n单增
∴S_n的最小值为d
∵b_n前n项和T_n=（n²+n）3ⁿ
∴当n=1时，b₁=T₁
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=（n²+n）3ⁿ-[（n-1）²+（n-1）]•3^n-1
∴

bn

Tn

＞d
∴等差数列a_n公
即1-

n2-n

3n2+3n

＞d恒成立
所以公差d∈[0，

2

3

]

点评：解决不等式恒成立时，常转化为求函数的最值，当存在变量使不等式成立与对于任意变量不等式恒成立求的最值不同．