题目内容
已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数x1、x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,则不等式f(1-x)<0的解集为
(-∞,0)
(-∞,0)
.分析:根据题意,当实数x1、x2,满足x1<x2时有f(x1)-f(x2)>0,可得f(x)是定义在R上的减函数.而f(x+1)是定义在R上的奇函数,可算出f(1)=0,从而不等式f(1-x)<0即f(1-x)<f(1),结合f(x)的单调性即可得到原不等式的解集.
解答:解:∵任意给定的不等实数x1、x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,
∴任意实数x1、x2,满足x1<x2时有f(x1)-f(x2)>0,可得f(x)是定义在R上的减函数
∵f(x+1)是定义在R上的奇函数,
∴f(x+1)=-f(1-x)对x∈R恒成立.令x=0,得f(1)=0
因此,不等式f(1-x)<0即f(1-x)<f(1)
∵f(x)是定义在R上的减函数
∴1-x>1,解之得x<0,原不等式的解集为(-∞,0)
故答案为:(-∞,0)
∴任意实数x1、x2,满足x1<x2时有f(x1)-f(x2)>0,可得f(x)是定义在R上的减函数
∵f(x+1)是定义在R上的奇函数,
∴f(x+1)=-f(1-x)对x∈R恒成立.令x=0,得f(1)=0
因此,不等式f(1-x)<0即f(1-x)<f(1)
∵f(x)是定义在R上的减函数
∴1-x>1,解之得x<0,原不等式的解集为(-∞,0)
故答案为:(-∞,0)
点评:本题给出抽象函数,在已知函数的单调性和奇偶性的情况下解关于x的不等式,着重考查了函数的基本性质和抽象不等式的解法等知识,属于基础题.

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