题目内容

(本小题满分12分)已知四棱锥P—ABCD,

底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点。   (1)证明平面PED⊥平面PAB;   (2)求二面角P—AB—F的平面角的余弦值。

(Ⅰ)    (Ⅱ)   (Ⅲ)


解析:

解法一(1)证明:连接BD.

为等边三角形.

是AB中点,

面ABCD,AB面ABCD,

面PED,PD面PED,面PED。

面PAB,面PAB.

(2)解:平面PED,PE面PED,

连接EF,PED,

为二面角P—AB—F的平面角. 

设AD=2,那么PF=FD=1,DE=.   

    

   

即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为

解法二:如图连结DE,则DE⊥DC,则可以以D为坐标原点,DE,DC,DP所在直线分别为x、y,z轴建立空间直角坐标系,设菱形ABCD的长为a,则:

则P(0,0,),F(0,0,),A(),B(),(),(),(0,,0)

设平面的法向量为,平面的法向量为

,令,可得

,令,可得

显然,二面角P-AB-F的平面角是锐角与大小相等,

即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为

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