Question

4．已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，（x∈R）则函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈z．

Answer 1

分析 利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调增区间．

解答 解：函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=2+cos2x+sin2x=2+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈z．
故函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈z，
故答案为：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈z．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，属于中档题．