题目内容

某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量x（件）之间近似满足关系：P=
1
96-x
，1≤x≤c，x∈N+
2
3
，x＞c，x∈N+
（其中c为小于96的正整常数）
（注：次品率P=
次品数
总生产量
，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品．）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的赢利T（元）表示为日产量x（件的函数）；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
分析：（1）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日产量（x）×次品率（P）×亏损（
A
2
），整理即可；
（2）由（1）知，只要考查当1≤x≤c时的情况即可；若令f(x)=A(x-
3x
192-2x
)，则由f′(x)=A
4(x2-192x+48×189)
(192-2x)2
=0，可得x=84；从而得当x＜84时，f'（x）＞0，当84＜x＜96时，f'（x）＜0，即当c≤84，日产量为c时，利润最大；当84＜c≤96，日产量为84时，利润最大．
解答：解：（1）根据题意，每天的赢利为T=x（1-P）A-xP•
A
2
=-
3A
2
xP+xA=
xA(1-
3
192-2x
)     (1≤x≤c，x∈ N*)
0                           (x＞c，x∈N*)
；
（2）由（1）知，只要考查1≤x≤c时的情况即可；
令f(x)=A(x-
3x
192-2x
)，则f′(x)=A
4(x2-192x+48×189)
(192-2x)2
=0，得x=84
且当x＜84时，f'（x）＞0，当84＜x＜96时，f'（x）＜0，
所以当c≤84时，日产量为c时，利润最大；当84＜c≤96时，日产量为84时，利润最大．
点评：本题考查了利润函数模型的应用，并且利用导数方法求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：P=
1
6-x
，1≤x≤c
2
3
，     x＞c
（其中c为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：P=
x2
6
，(1≤x＜4)
x+
3
x
-
25
12
，(x≥4)
已知每生产l万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产l万件次品将亏损1万元．（利润=盈利一亏损）
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？
（2013•崇明县二模）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数p（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：p=
x2
6
，(1≤x＜4)
x+
3
x
-
25
12
，(x≥4)
．已知每生产l万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生l万件次品将亏损10万元．（实际利润=合格产品的盈利-生产次品的亏损）
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润T（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件） 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？

某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量（件）之间近似满足关系：

（其中为小于96的正整常数）

（注：次品率P=，如P=0.1表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品.）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量。

试将生产这种仪器每天的赢利T（元）表示为日产量（件的函数）；

当日产量为多少时，可获得最大利润？

 

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