题目内容
某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:P=
(其中c为小于6的正常数)
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
|
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
分析:(1)每天的赢利为T=日产量(x)×正品率(1-P)×2-日产量(x)×次品率(P)×1,根据分段函数分段研究,整理即可;
(2)利用函数的导数得出单调性,再求函数的最大值.
(2)利用函数的导数得出单调性,再求函数的最大值.
解答:解:(1)当x>c时,P=
,
∴T=
x•2-
x•1=0
当1≤x≤c时,P=
,
∴T=(1-
)•x•2-(
)•x•1=
综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为:
T=
(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0
当1≤x≤c时,T=
=15-2[(6-x)+
]≤15-12=3
当且仅当x=3时取等号
所以①当3≤c≤6时,Tmax=3,,此时x=3
②当1≤c≤3时,由T′=
=
知
函数T=
在[1,3]上递增,Tmax=
,此时x=c
综上,若3≤c≤6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润
若1≤c≤3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润
2 |
3 |
∴T=
1 |
3 |
2 |
3 |
当1≤x≤c时,P=
1 |
6-x |
∴T=(1-
1 |
6-x |
1 |
6-x |
9x-2x2 |
6-x |
综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为:
T=
|
(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0
当1≤x≤c时,T=
9x-2x2 |
6-x |
9 |
6-x |
当且仅当x=3时取等号
所以①当3≤c≤6时,Tmax=3,,此时x=3
②当1≤c≤3时,由T′=
2x2-24x+54 |
(6-x)2 |
2(x-3)(x-9) |
(6-x)2 |
函数T=
9x-2x2 |
6-x |
9c-2c2 |
6-c |
综上,若3≤c≤6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润
若1≤c≤3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润
点评:本题考查了利润函数模型的应用,并且利用导数方法求得函数的最值问题,也考查了分段函数的问题,分类讨论思想.是中档题.
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