题目内容

某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:P=
1
6-x
,1≤x≤c
2
3
,     x>c
(其中c为小于6的正常数)
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
分析:(1)每天的赢利为T=日产量(x)×正品率(1-P)×2-日产量(x)×次品率(P)×1,根据分段函数分段研究,整理即可;
(2)利用函数的导数得出单调性,再求函数的最大值.
解答:解:(1)当x>c时,P=
2
3

∴T=
1
3
x•2-
2
3
x•1=0
当1≤x≤c时,P=
1
6-x

T=(1-
1
6-x
)•x•2-(
1
6-x
)•x•1
=
9x-2x2
6-x

综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为:
T=
9x-2x2
6-x
,  1≤x≤c 
0,     x>c

(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0
当1≤x≤c时,T=
9x-2x2
6-x
=15-2[(6-x)+
9
6-x
]≤15-12=3
当且仅当x=3时取等号
所以①当3≤c≤6时,Tmax=3,,此时x=3
②当1≤c≤3时,由T′=
2x2-24x+54
(6-x)2
=
2(x-3)(x-9)
(6-x)2

函数T=
9x-2x2
6-x
在[1,3]上递增,Tmax=
9c-2c2
6-c
,此时x=c
综上,若3≤c≤6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润
若1≤c≤3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润
点评:本题考查了利润函数模型的应用,并且利用导数方法求得函数的最值问题,也考查了分段函数的问题,分类讨论思想.是中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网