题目内容

（2009•聊城一模）过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2；…；依此下去，得到一系列点M1，M2，…Mn，…；设它们的横坐标a1，a2，…，
an…构成数列为{an}．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：an≥1+
n
k-1
；
（Ⅲ）当k=2时，令bn=
n
an
，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析：（Ⅰ）对y=xk求导数，得y′=kxk-1，切点是Mn（an，ank）的切线方程是y-ank=kank-1（x-an）．当n=1时，a1=
k
k-1
；当n＞1时，得
an
an-1
=
k
k-1
．由此能求出数列{an}的通项公式．
（ II）应用二项式定理，得an=(
k
k-1
)n=(1+
1
k-1
)n=
C
0
n
+
C
1
n
1
k-1
+
C
2
n
(
1
k-1
)2+…+
C
n
n
(
1
k-1
)n≥1+
n
k-1
．
（ III）当k=2时，an=2n，数列{bn}的前n项和Sn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
，利用错位相减法能够得到Sn=2-
n+2
2n
．
解答：解：（Ⅰ）对y=xk求导数，
得y′=kxk-1，
点是Mn（an，ank）的切线方程是y-ank=kank-1（x-an）．…（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），
即0-a1k=ka1k-1（1-a1），
得a1=
k
k-1
；
当n＞1时，切线过点Pn-1（an-1，0），
即0-ank=kank-1（an-1-an），
得
an
an-1
=
k
k-1
．
所以数列{an}是首项a1=
k
k-1
，公比为
k
k-1
的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为an=(
k
k-1
)n，n∈N*．…（4分）
（ II）应用二项式定理，得an=(
k
k-1
)n=(1+
1
k-1
)n=
C
0
n
+
C
1
n
1
k-1
+
C
2
n
(
1
k-1
)2+…+
C
n
n
(
1
k-1
)n≥1+
n
k-1
．…（8分）
（ III）当k=2时，an=2n，
数列{bn}的前n项和Sn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
，
同乘以
1
2
，得
1
2
Sn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1
，
两式相减，…（10分）
得
1
2
Sn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1
，
所以Sn=2-
n+2
2n
．…（12分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，证明an≥1+
n
k-1
，求数列的前n项和．对数学思维的要求比较高，要认真审题，注意错位相减法的灵活运用，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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