Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁D₁和CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD₁；
（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）在棱BB₁上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：如图分别以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，先写出各点坐标：
（I）取AD₁中点G，则G（1，0，1），

CG

=（1，-2，1），又

EF

=（-1，2，-1），证明

EF

与

CG

共线即可；
（II）求出两异面直线的方向向量，用数量积公式求夹角余弦即可，易求；
（III）假设存在，设出点P的空间坐标，根据题设中所给的条件二面角P-AC-B的大小为30°利用数量积公式建立关于引入的参数的方程即可，若求得的参数符合题意，则说明存在，否则说明不存在．

解答：解：如图分别以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、
C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
（I）取AD₁中点G，则G（1，0，1），

CG

=（1，-2，1），又

EF

=（-1，2，-1），由

EF

=-

CG

，
∴

EF

与

CG

共线．
从而EF∥CG，
∵CG?平面ACD₁，EF?平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁．（6分）
（II）∵

AB

=（0，2，0）∴cos＜

EF

，

AB

＞ =

AB • EF

| AB ||  EF |

=

4

2 6

=

6

3

（III）假设满足条件的点P存在，可设点P（2，2，t），（0＜t≤2），

AP

=（0，2，t），

AC

=（-2，2，0）
平面ACP的一个法向量为

n

=(x，y，z)则

n • AP =0 n •  AC =0

∴

-2x+2y=0 2y+tz=0

取

n

=（1，1，-

2

t

），易知平面ABC的一个法向量

BB 1

=（0，0，2）依题意知＜ 

BB 1

，

n

＞=300或1500∴|cos＜

BB 1

，

n

＞|=

|- 4 t |

2× 2+ 4 t2

=

3

2

解得t=

6

3

∈（0，2）∴在棱BB₁上存在一点P，当BP的长为

6

3

时，二面角P-AC-B的大小为30°

点评：本题考查用向量法证明线面平行，求异面直线所成的角以及二面角，用向量方法解决立体几何中的位置关系、夹角及距离问题是空间向量的一个重要运用，学习时注意总结向量法解立体几何题的规律，此方法也是近几年高考比较热的一个考点．