Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是减函数．若方程f（x）=k在区间[-8，8]上有四个不同的根，则这四根之和为（　　）

A．±4

B．±8

C．±6

D．±2

Answer 1

分析：由条件“f（-x）=-f（x）”函数为奇函数，由“f（x-4）=-f（x）”可得f（x+8）=f（x），即函数的周期为8，且在[0，2]上为减函数，画出示意图，由图解得答案．

解答：解：∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵f（x-4）=-f（x），即f（x+8）=f（x），
∴f（x）是周期为8的周期函数，
根据f（-x）=-f（x），f（x-4）=-f（x），可得f（x-4）=f（-x），
∴f（x）关于直线x=-2对称，
又根据题意知，f（x）在[0，2]上为减函数，
结合以上条画出函数的示意图，由图看出，
①当k＞0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-2）=-4，
另两个交点的横坐标之和为2×6=12，所以四根之和为8；
②当k＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6）=-12，
另两个交点的横坐标之和为2×2=4，所以四根之和为-8；
综合①②可得，四根之和为±8．
故选B．

点评：本题考查了数形结合的数学思想方法．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．