题目内容
【题目】如图所示，在三棱锥
中，
与
都是边长为2的等边三角形，
是侧棱
的中点，过点作平行于
、
的平面分别交棱
、
、
于点
、
、
.
（1）证明：四边形
为矩形；
（2）若平面
平面
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）设
的中点为
，连接
，
，由线面平行的性质定理，分别证得
和
，得到四边形
为平行四边形，再由线面垂直的性质定理，证得
，即可得到答案。
（2）以为原点建立如图的空间直角坐标系
，分别求得平面和平面
的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。
（1）如图，设的中点为，连接，，
∵
平面，平面
平面
，平面
平面
，
∴
，
，∴.
同理，由
平面得，∴四边形为平行四边形.
∵
与
都是等边三角形，∴
，
，
又
，∴
平面
，故
，
又由上知
，，∴，∴四边形为矩形.
（2）∵平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，∴
平面，∴，
，两两垂直，
以为原点建立如图的空间直角坐标系，
∵与都是边长为2的等边三角形，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
，
设平面的法向量为
，
由
，令
，得
.
同理可得平面的法向量
，
∴
.
由图形可知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角
的余弦值为.
【题目】基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率
进行了统计，结果如下表：
月份 | 2018.11 | 2018.12 | 2019.01 | 2019.02 | 2019.03 | 2019.04 |
月份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合
与月份代码
之间的关系.如果能，请计算出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；
（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的
型车和800元/辆的
型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：
| 1年 | 2年 | 3年 | 4年 | 总计 |
| 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
| 15 | 40 | 35 | 10 | 100 |
经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？
参考数据：
，
，
，
.
参考公式：相关系数
，
，
.
【题目】某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
同意 | 不同意 | 合计 | |
男生 | a | 5 | |
女生 | 40 | d | |
合计 | 100 |
（1）求 a，d 的值；
（2）根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
附：
| 0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】甲、乙两名大学生因为学习需要，欲各自选购一台笔记本电脑，他们决定在A，B，C三个品牌的五款产品中选择，这五款笔记本电脑在某电商平台的价格与销量数据如表所示：
品牌 | A | B | C | ||
型号 | A﹣1 | A﹣2 | B﹣1 | B﹣2 | C﹣1 |
价格（元） | 6000 | 7500 | 10000 | 8000 | 4500 |
销量（台） | 1000 | 1000 | 200 | 800 | 3000 |
（Ⅰ）若甲选择某品牌的笔记本电脑的概率与该品牌的总销量成正比，求他选择B品牌的笔记本电脑的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人选择每种型号的笔记本电脑的概率都相等，且两人选购的型号不相同，求他们两人购买的笔记本电脑的价格之和大于15000元的概率．
