题目内容

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
(a,b为常数)为奇函数,且过点(1,
1
3
)

(1)求f(x)的表达式;
(2)定义正数数列{an},a1=
1
2
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)
,证明:数列{
1
a
2
n
-2}
是等比数列;
(3)令bn=
1
a
2
n
-2,Sn为{bn}
的前n项和,求使Sn
31
8
成立的最小n值.
分析:(1)根据函数为奇函数和过点(1,
1
3
)
,求出a,b,确定出f(x)的解析式.
(2)
a
n+1
2
=2anf(n)=2an
an
2
a
n
2
+1
=
2
a
n
2
2
a
n
2
+1
,化简可得数列{
1
a
2
n
-2
}是以2为首项,
1
2
为公比的等比数列.
(3)bn为等比数列,根据等比数列的求和公式求出Sn,解出不等式中n的范围,从而确定n的最小值.
解答:解:(1)∵f(x)=
ax2+x
2x2+b
为奇函数,∴f(-x)=
a(-x)2-x
2(-x)2+bx
=
ax2-x
2x2+b
=-
ax2+x
2x2+b
=-f(x),
∴a=0;
又f(x)过点(1,
1
3
),∴f(1)=
x
2x2+b
=
1
2+b
=
1
3
,∴b=1.∴f(x)=
x
2x2+ 1

(2)∵
a
2
n+1
=2anf(n)=2an
an
2
a
2
n
+1
=
2
a
2
n
2
a
2
n
+1

1
a
2
n+1
=1+
1
2
a
2
n
,,
1
a
2
n+1
-2=
1
2
(
1
a
2
n
-2)
∴数列{
1
a
2
n
-2
}是以2为首项,
1
2
为公比的等比数列.
(3)∵bn=
1
a
n
2
-2, a1=
1
2

Sn=
2[1-(
1
2
)
2
]
1-
1
2
=4[1-(
1
2
)
2
]

Sn
31
8
,即4[1-(
1
2
)
2
]
31
8

∴n>5
∴满足Sn
31
8
的最小为6.
点评:本题是数列与函数的综合题,考查了等比数列的证明,等比数列的求和,以及不等式的解法,综合性比较强,应该灵活掌握.
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