题目内容

已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，且f(c)=0,当0＜x＜c时，f(x)＞0.

（1）求证：＞c;

（2）求证：-2＜b＜-1;

（3）当c＞1,t＞0时，求证：++＞0.

思路解析：（1）直接证明＞c较难，可以考虑反证法；（2）综合法可以推导出-2＜b＜-1;（3）构造函数证明++＞0比较方便.

证明：（1）∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,

∴f(x)=0有两个不同的实根x1、x2.

又∵f(c)=0,∴c是方程f(x)=0的一个根.

不妨设x1=c,x2是另一个根,∴x1x2=.

∴x2=,即f()=0.

假设＜c，则有0＜＜c.

∵当0＜x＜c时,f(x)＞0,∴f()＞0.

这与f()=0矛盾.

∴＞c.

（2）由（1）得＞c.

∵a＞0,c＞0,∴1＞ac＞0.

∵、c是ax2+bx+c=0的两个根，∴+c=-.

∴1+ac=-b.∴ac=-1-b.∴1＞-1-b＞0.∴有-2＜b＜-1.

（3）∵t＞0,∴++＞0

*t(t+1)a+t(t+2)b+(t+1)(t+2)c＞0

(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c＞0.                                  ①

设g(t)=(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c.

∵c＞1＞0,∴f(1)＞0,即a+b+c＞0.

又∵-2＜b＜-1,

∴a+2b+3c=(a+b+c)+(b+2c)＞b+2c＞b+2＞0.

∴二次函数g(t)的对称轴t=-＜0.

∴g(t)在［0，+∞)上是增函数.

∴t＞0时有g(t)＞g(0)=2c＞0.

∴(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c＞0成立.

∴++＞0.


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