题目内容

已知f(x)=
ax2+2
b-3x
是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f(2)=-
5
3
．
（1）求a，b的值；
（2）请用函数单调性的定义说明：f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）求f（x）的值域．
分析：（1）由f（-x）=-f（x）可求b，f(2)=-
5
3
，可求a；
（2）利用函数单调性的定义任取1＜x1＜x2，作差f（x1）-f（x2），判断符号；
（3）利用函数单调性与奇偶性即可求得f（x）的值域．
解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得：b=0，由f(2)=-
5
3
得a=2…..（4分）
（2）f(x)=-
2
3
(x+
1
x
)在（1，+∞）上为减函数．
证明：任取1＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=-
2
3
(x1-x2)(1-
1
x1x2
)＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上为减函数…（8分）
（3）同理，f（x）在（0，1）递增∴x＞0时，f(x)≤f(1)=-
4
3
，
又f（x）为奇函数，∴x＜0时f(x)≥
4
3
，
综上所述，f（x）的值域为(-∞，-
4
3
]∪[
4
3
，+∞)…（11分）
点评：本题考查函数奇偶性与单调性，重点考查学生理解函数奇偶性单调性及灵活应用之求值域，解决的方法是特值法与函数单调性的定义法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
为奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点(1，
1
3
)
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，求数列{an2}的通项公式；
（3）已知b&n=
a
2
n
a
2
n+1
2n-2
，设Sn为bn的前n项和，证明：
1
6
≤Sn＜
1
2
．
已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
（a，b为常数）为奇函数，且过点(1，
1
3
)．
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，证明：数列{
1
a
2
n
-2}是等比数列；
（3）令bn=
1
a
2
n
-2，Sn为{bn}的前n项和，求使Sn＞
31
8
成立的最小n值．
已知f(x)=
ax2+bx+1
x+c
(a＞0)是奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值2
2
，求f（x）的表达式．
已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，且f(c)=0,当0＜x＜c时，f(x)＞0.

（1）求证：＞c;

（2）求证：-2＜b＜-1;

（3）当c＞1,t＞0时，求证：++＞0.

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