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精英家教网如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D,E分)别为AB,CD的中点,AE的延长线交CB于F.现将△ACD沿CD折起,折成二面角A-CD-B,连接AF.
(Ⅰ)求证:平面AEF⊥平面CBD;
(Ⅱ)当AC⊥BD时,求二面角A-CD-B大小的余弦值.
分析:(I)欲证平面AEF⊥平面CBD,根据面面垂直的判定定理可知在平面CDB内一直线与平面AEF垂直,根据翻折前后有些垂直关系不变AE⊥CD,EF⊥CD,又AE∩EF=E,AE?平面AED,EF?平面AEF,满足线面垂直的判定定理,则CD⊥平面AEF,又CD?平面CDB,满足定理所需条件;
(II)先作出二面角的平面角,过点A作AH⊥EF,垂足H落在FE的延长线,连接CH并延长交BD的延长线于G,根据二面角平面角的定义可知∠AEF即为所求二面角的平面角,在三角形AEF中求出此角即可求出所求.
解答:精英家教网解:
(I)证明:在Rt△ABC中,D为AB的中点,得AD=CD=DB,
又∠B=30°,得△ACD是正三角形,
又E是CD的中点,得AF⊥CD.(3分)
折起后,AE⊥CD,EF⊥CD,
又AE∩EF=E,AE?平面AED,EF?平面AEF,
故CD⊥平面AEF,(6分)
又CD?平面CDB,
故平面AEF⊥平面CBD.(7分)
(II)过点A作AH⊥EF,垂足H落在FE的延长线,
因为CD⊥平面AEF,所以CD⊥AH,
所以AH⊥平面CBD.(9分)
连接CH并延长交BD的延长线于G,
由已知AC⊥BD,得CH⊥BD,可得BD垂直于面AHC,从而得到BD垂直于线CG
可得∠CGB=90°,
因此△CEH∽△CGD,
EH
DG
=
CE
CG

设AC=a,易得
∠GDC=60°,DG=
a
2
,CE=
a
2
,CG=
3
a
2

代入上式得EH=
3
a
6

又EA=
3
a
2

故cos∠HEA=
EH
EA
=
1
3
.(12分)
又∵AE⊥CD,EF⊥CD,
∴∠AEF即为所求二面角的平面角,(13分)
故二面角A-CD-B大小的余弦值为-
1
3
.(14分)
点评:本题主要考查了面面垂直的判定,以及二面角平面角的度量,考查学生空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
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