题目内容
【题目】已知数列满足
,且
,点
在二次函数
的图象上.
(1)试判断数列是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
(2)记,求证:数列
是等比数列,并求出通项公式
;
(3)在数列中依据某种顺序从左至右取出其中的项
,…,把这些项重新组成一个新数列
,….若数列
是首项为
、公比为
的无穷等比数列,且数列
各项的和为
,求正整数
的值.
【答案】(1)是,理由见解析;(2)证明见解析,;(3)
,
.
【解析】
(1)数列是算术平方根递推数列,根据题意,利用点
在二次函数
的图象上,可得
,即可证明
,从而数列
是算术平方根递推数列;
(2)由,
,可得
,即可证明:数列
是首项为
,公比为
的等比数列,从而求出通项公式
;
(3)由题意可得数列的首项为
,公比为
,可得
,再分类讨论,可得正整数
的值.
(1)数列是算术平方根递推数列.理由如下:
∵点在函数
的图象上,则
.
即,而
,
∴.
所以数列是算术平方根递推数列
(2)由(1)可知,,
∴,
又,
∴数列是首项为
,公比
的等比数列,
故数列通项公式
.
(3)由题意,无穷等比数列的首项
,公比
(
且
为常数),
则无穷等比数列的各项和为,化简得
.
因为且
为常数,
若,则
,与
矛盾,
所以,
若或1时,
,与
矛盾,
所以,即
,此时
,解得
,
故正整数.
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