题目内容

2.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2},x≤1}\\{x+\frac{6}{x}-6,x>1}\end{array}\right.$,则f(f(-2))=$-\frac{1}{2}$,f(x)的最小值是2$\sqrt{6}$-6.

分析 由分段函数的特点易得f(f(-2))=的值;分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值,比较可得.

解答 解:由题意可得f(-2)=(-2)2=4,
∴f(f(-2))=f(4)=4+$\frac{6}{4}$-6=-$\frac{1}{2}$;
∵当x≤1时,f(x)=x2
由二次函数可知当x=0时,函数取最小值0;
当x>1时,f(x)=x+$\frac{6}{x}$-6,
由基本不等式可得f(x)=x+$\frac{6}{x}$-6≥2$\sqrt{x•\frac{6}{x}}$-6=2$\sqrt{6}$-6,
当且仅当x=$\frac{6}{x}$即x=$\sqrt{6}$时取到等号,即此时函数取最小值2$\sqrt{6}$-6;
∵2$\sqrt{6}$-6<0,∴f(x)的最小值为2$\sqrt{6}$-6
故答案为:-$\frac{1}{2}$;2$\sqrt{6}$-6

点评 本题考查函数的最值,涉及二次函数的性质和基本不等式,属中档题.

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