Question

（2006•浦东新区模拟）已知函数f（x）=x²-2ax+a的定义域为（1，+∞），且存在最小值-2；（1）求实数a的值；（2）令g(x)=

f(x)

x

，求函数y=g（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）根据已知中函数f（x）=x²-2ax+a的定义域为（1，+∞），且存在最小值-2，根据二次函数的图象和性质，分别讨论a＞1与a≤1两种情况下a的取值，即可求出满足条件的实数a的值；
（2）根据（1）的结论，我们根据g(x)=

f(x)

x

，可以求出函数y=g（x）的解析式，利用基本不等式，我们易求出函数y=g（x）的最值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²-2ax+a的定义域为（1，+∞），
又∵f（x）=（x-a）²+a-a²，…（1分）
若a＞1，则当x=a时，f_min（x）=a-a²=-2…（3分）
解得a=2或a=-1（舍）
∴a=2…（5分）
说明：若a≤1，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，无最小值，无论是否讨论a≤1均不扣分
（2）∵a=2，
∴f（x）=x²-4x+2，…（6分）
∴g(x)=

f(x)

x

=

x2-4x+2

x

=x+

2

x

-4，x∈(1，+∞)…（8分）
∵x+

2

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

x

，x=

2

∈(1，+∞)时等号成立…（10分）
∴当x=

2

时，g（x）取最小值2

2

-4，无最大值…（12分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，基本不等式，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答（1）的关键，而利用基本不等式求出x+

2

x

≥2

2

是解答（2）的关键．