题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1)、B(t2,y2)两点,且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.(1)证明:y1=-a或y2=-a;
(2)证明:函数f(x)的图像必与x轴有两个交点;
(3)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0),解关于x的不等式cx2-bx+a>0.
解析:(Ⅰ)∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,
∴(a+y1)(a+y2)=0得y1=-a、y2=-a.
(Ⅱ)当a>0时,二次函数f(x)的图像开口向上,图像上的点A、B的纵坐标均为-a且小于零,所以图像x轴有两个交点;
当a<0时,二次函数f(x)的图像开口向下,图像上的点A、B的纵坐标均为-a且大于零,所以图像x轴有两个交点.
所以函数f(x)的图像与x轴有两个不同交点.
(Ⅲ)∵ax2+bx+c>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0),
∴a>0,b>0,c>0
从而方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=,x2=,则方程cx2-bx+a=0的两个根为x1=-,x2=-.
因为n<m<0,所以-<-,
故不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x>-或x<-}.
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