题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1)、B(t2,y2)两点,且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.

(1)证明:y1=-a或y2=-a;

(2)证明:函数f(x)的图像必与x轴有两个交点;

(3)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0),解关于x的不等式cx2-bx+a>0.

解析:(Ⅰ)∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,

∴(a+y1)(a+y2)=0得y1=-a、y2=-a.

(Ⅱ)当a>0时,二次函数f(x)的图像开口向上,图像上的点A、B的纵坐标均为-a且小于零,所以图像x轴有两个交点;

    当a<0时,二次函数f(x)的图像开口向下,图像上的点A、B的纵坐标均为-a且大于零,所以图像x轴有两个交点.

    所以函数f(x)的图像与x轴有两个不同交点.

(Ⅲ)∵ax2+bx+c>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0),

∴a>0,b>0,c>0

    从而方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=,x2=,则方程cx2-bx+a=0的两个根为x1=-,x2=-.

    因为n<m<0,所以-<-,

    故不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x>-或x<-}.


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