题目内容
设向量
=（0，2），
=（1，0），过定点A（0，-2），以
+λ
方向向量的直线与经过点B（0，2），以向量
-2λ
为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过E（1，0）的直线l与C交于两个不同点M、N，求
•
的取值范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过E（1，0）的直线l与C交于两个不同点M、N，求
| EM |
| EN |
（Ⅰ）设P（x，y），∵
=（0，2），
=（1，0），∴
+λ
=（λ，2），
-2λ
=（1，-4λ），
过定点A（0，-2），以
+λ
方向向量的直线方程为：2x-λy-2λ=0，
过定点B（0，2），以
-2λ
方向向量的直线方程为：4λx+y-2=0，
联立消去λ得：8x2+y2=4∴求点P的轨迹C的方程为8x2+y2=4．
（Ⅱ）当过E（1，0）的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，
∴设直线l的方程为：y=k（x-1），l与曲线C交于M（x1，y1），N（x2，y2），
由
?（k2+8）x2-2k2x+k2-4=0，则
，
又
=（x1-1，y1），
=（x2-1，y2），
∴
•
=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+k2（x1-1）（x2-1）
=（1+k2）x1x2-（1+k2）（x1+x2）+1+k2 =（1+k2）（
-
+1）=
=4-
，
∵0≤k2＜8，∴
•
的取值范围是[
，
）．
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
过定点A（0，-2），以
| a |
| b |
过定点B（0，2），以
| b |
| a |
联立消去λ得：8x2+y2=4∴求点P的轨迹C的方程为8x2+y2=4．
（Ⅱ）当过E（1，0）的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，
∴设直线l的方程为：y=k（x-1），l与曲线C交于M（x1，y1），N（x2，y2），
由
|
|
又
| EM |
| EN |
∴
| EM |
| EN |
=（1+k2）x1x2-（1+k2）（x1+x2）+1+k2 =（1+k2）（
| k2-4 |
| k2+8 |
| 2k2 |
| k2+8 |
| 4(k2+1) |
| k2+8 |
| 28 |
| k2+8 |
∵0≤k2＜8，∴
| EM |
| EN |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
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