题目内容
如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,且
,
,侧面
底面
. 若
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)侧棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,指出点
的位置并证明,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
(1) 对于线面垂直的证明主要是根据线面垂直的判定定理,先通过线线垂直来得到证明。(2)
解析试题分析:解法一:
(Ⅰ)因为 ,所以
.
又因为侧面底面
,且侧面
底面
,所以
底面
.而
底面
,所以
. 2分
在底面中,因为
,
,
所以 , 所以
.
又因为, 所以
平面
. 4分
(Ⅱ)在上存在中点
,使得
平面
,
证明如下:设的中点是
, 连结
,
,
,则
,且
. 由已知
,所以
. 又
,所以
,且
,
所以四边形为平行四边形,所以
.
因为平面
,
平面
,
所以平面
. 8分
(Ⅲ)设为
中点,连结
,
则 .又因为平面
平面
,
所以 平面
.过
作
于
,
连结,则
,所以
所以是二面角
的平面角.
设,则
,
.在
中,由相似三角形可得:
,所以
.所以
,
.即二面角
的余弦值为
. 14分

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