题目内容

如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,侧面底面. 若.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)侧棱上是否存在点,使得平面?若存在,指出点 的位置并证明,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.

(1) 对于线面垂直的证明主要是根据线面垂直的判定定理,先通过线线垂直来得到证明。(2)

解析试题分析:解法一:
(Ⅰ)因为 ,所以.
又因为侧面底面,且侧面底面,所以底面.而底面,所以.     2分
在底面中,因为
所以 , 所以.
又因为, 所以平面.            4分

(Ⅱ)在上存在中点,使得平面
证明如下:设的中点是, 连结,则,且. 由已知,所以. 又,所以,且
所以四边形为平行四边形,所以.
因为平面平面
所以平面.           8分
(Ⅲ)设中点,连结

.又因为平面平面
所以 平面.过
连结,则,所以
所以是二面角的平面角.
,则, .在中,由相似三角形可得:,所以.所以 .即二面角的余弦值为.                 14分

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