Question

（2011•聊城一模）已知A，B是单位圆（O为圆心）上的两个定点，且∠AOB=60°，若C为该圆上的动点，且

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，则xy的最大值为（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：由

OC

=x

OA

+y

OB

，且向量的模都是1，

OA

•

OB

=

1

2

，平方可得1=x²+y²+xy≥3xy，再由x，y∈[0，1]，
可得xy的范围．

解答：解：由

OC

=x

OA

+y

OB

⇒

OC

2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

•

OB

，
又|

OC

|=|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

•

OB

=

1

2

∴1=x²+y²+xy≥3xy，得xy≤

1

3

，
而点C在以O为圆心的圆弧

AB

上变动，得x，y∈[0，1]，
于是，0≤xy≤

1

3

，
故选D．

点评：此题是中档题．本题考查两个向量的数量积的定义以及基本不等式的应用，体现了数形结合的数学思想．