Question

已知

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx）．
（1）求证：向量

a

与向量

b

不可能平行；
（2）若f（x）=

a

•

b

，且x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）假设

a

∥

b

就一定有2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0成立，整理出sin2x+cos2x=-3＜-2，矛盾．故不成立．
（2）先表示出f（x）=

a

•

b

=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx=

2

（sin2x+

π

4

），再根据x的范围求出函数f（x）的最大值及最小值．

解答：解：（1）假设

a

∥

b

，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
∴2cos²x+sinxcosx+sin²x=0，2•

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

=0，
即sin2x+cos2x=-3，
∴

2

（sin2x+

π

4

）=-3，与|

2

（sin2x+

π

4

）|≤

2

矛盾，
故向量

a

与向量

b

不可能平行．
（2）∵f（x）=

a

•

b

=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）=

2

（sin2x+

π

4

），
∵-

π

4

≤x≤

π

4

，
∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，
∴当2x+

π

4

=

π

4

，即x=

π

8

时，f（x）有最大值

2

；
当2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

时，f（x）有最小值-1．

点评：本题主要考查平面向量的坐标运算．考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题．是高考的热点问题．