题目内容
已知
=（cosx+sinx，sinx），
=（cosx-sinx，2cosx），设f（x）=
•
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）由y=sinx的图象经过怎样变换得到y=f（x）的图象，试写出变换过程；
（3）当x∈[0，
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）由y=sinx的图象经过怎样变换得到y=f（x）的图象，试写出变换过程；
（3）当x∈[0，
| π |
| 2 |
分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算可求得f（x）=
sin（2x+
），于是可求函数f（x）的最小正周期；
（2）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程；
（3）当x∈[0，
]时，故2x+
∈[
，
]，利用正弦函数的单调性及可求得答案．
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程；
（3）当x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
解答：解：∵f（x）=
•
=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx
=cos2x-sin2x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=
sin（2x+
），
∴f（x）的最小正周期T=π；
（2）把y=sinx的图象上所有点向左平移
个单位得到y=sin（x+
）的图象，再把y=sin（x+
）图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变得到
y=sin（2x+
）的图象，再把y=sin（2x+
）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
倍，横坐标不变得到y=
sin（2x+
）的图象；
（3）∵0≤x≤
，故
≤2x+
≤
，
∴当2x+
=
，即x=
时，f（x）有最大值
，
当2x+
=
，即x=
时，f（x）有最小值-1．
| a |
| b |
=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx
=cos2x-sin2x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f（x）的最小正周期T=π；
（2）把y=sinx的图象上所有点向左平移
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
y=sin（2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
（3）∵0≤x≤
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
∴当2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 2 |
当2x+
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
| π |
| 2 |
点评：本题考查向量的数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值的综合应用，属于中档题．
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