Question

已知函数f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设b＞0，若函数f（x）在区间[-b，b]上最大值与最小值的差为b，求b的值．

Answer 1

解：（I）∵函数f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数
∴f（0）=0，
∴a=0．
（II）函数f（x）=|x|•x（a∈R）在区间[-b，b]上增函数，
函数f（x）在区间[-b，b]上最大值与最小值分别为：b³，-b³，
∴b³+b³=b．
∴b=．
分析：（I）根据函数f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数，得到f（0）=0，从而求得a值即可；
（II）由（I）得函数f（x）=|x|•x（a∈R）在区间[-b，b]上增函数，结合题意：函数f（x）在区间[-b，b]上最大值与最小值分别为：b³，-b³，列出方程即可求得b值．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的最值及其几何意义等基础知识、化归与转化思想．属于基础题．