Question

．（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=

（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A—BC—D的余弦值；
（3）求点O到平面ACD的距离．

Answer 1

解法一：（1）连接OC，
∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AB=2，AC=，
∴AO= CO=．…………………………3分
在△AOC中，∵AO2+ CO2= AC2，
∴∠AOC=90o，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．………………4分
（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE，∴AE⊥BC，
∴∠AEO为二面角A—BC—D的平面角．………………6分
在Rt△AEO中，AO=，OE=，
tan∠AEO==2，cos∠AEO=，
∴二面角A—BC—D的余弦值为．……………………8分
（3）设点O到平面ACD的距离为h．
∵VO—ACD= VA—OCD，∴S△ACD·h—=S△OCD·AO．
在△ACD中，AD= CD=2，AC=，  
S△ACD=·．
而AO=，S△OCD=，
∴，
∴点O到平面ACD的距离为．…………………………12分
解法二：（1）同解法一．……………………………………4分
（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则…………5分
∵AO⊥平面BCD，
∴平面BCD的法向量=（0，0，）…………6分
设平面ABC的法向量n=（x，y，z），
=（0，-1，-），=（，1，0）．

n·

n·

       由 n=（1，-，1）．

|n|·

n·

       设n与的夹角为，则|cos|==，

        ∴二面角A—BC—D的余弦值为．…………………………8分
（3）设平面ACD的法向量m=（x，y，z），

|m|·

m·

       又与m的夹角为，则|cos|==．

       设点O到平面ACD的距离为h，
∵h=，
∴点O到平面ACD的距离为．…………………………12分

解析