题目内容
下列说法中:①函数y=lg(x2-ax-a)的值域为R,则a∈(-4,0);
②O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_ST/0.png)
③要得到函数y=f(1-x)的图象只需将y=f(-x)的图象向左平移1个单位;
④若函数
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_ST/1.png)
其中正确的序号是 .
【答案】分析:①函数y=lg(x2-ax-a)的值域为R,就是g(x)=ax2+ax+1的值域为[0,+∞),根据△≥0,进行求解;
②根据动点P满足
进行移项,发现
与
的关系进行判断;
③根据平移的性质进行判断,注意“左加右减”;
④已知函数
,证明f(x)是奇函数又是增函数即可证明;
解答:解:①∵函数y=lg(x2-ax-a)的值域为R,
可得ax2+ax+1的值域为[0,+∞),
∴△≥0,即(-a)2-4×(-a)=a2+4a≥0,解得a≥0或a≤-4;故①错误;
②O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足
,
∴
=λ(
),说明p在边BC的中线上,λ∈[0,+∞),
∴P的轨迹一定经过△ABC的重心,故②错误;
③y=f(-x)的图象向左平移1个单位可得y=f[-(x+1)]=f(-x-1),
故③错误;
④因为函数
,f(-x)=-x+![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/8.png)
=-[x+
]
=-[
]=-f(x),f(x)是奇函数,
又f(x)为增函数,∴f(x)在R上是单调增函数,
若“m+n≥0”可得m≥-n,可得f(m)≥f(-n),可得f(m)≥-f(n)即“f(m)+f(n)≥0”;
若“f(m)+f(n)≥0”,可得f(m)≥-f(n)=f(-n),∴m≥-n即m+n≥0,
∴“m+n≥0”是“f(m)+f(n)≥0”的充要条件故④正确.
故④正确,
故答案为:④
点评:此题是一道综合题,考查了二次函数的性质、向量平移的性质、函数的单调性及奇偶性的应用,是一道基础题,难度不大;
②根据动点P满足
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/0.png)
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/1.png)
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/2.png)
③根据平移的性质进行判断,注意“左加右减”;
④已知函数
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/3.png)
解答:解:①∵函数y=lg(x2-ax-a)的值域为R,
可得ax2+ax+1的值域为[0,+∞),
∴△≥0,即(-a)2-4×(-a)=a2+4a≥0,解得a≥0或a≤-4;故①错误;
②O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/4.png)
∴
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/5.png)
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/6.png)
∴P的轨迹一定经过△ABC的重心,故②错误;
③y=f(-x)的图象向左平移1个单位可得y=f[-(x+1)]=f(-x-1),
故③错误;
④因为函数
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/7.png)
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/8.png)
=-[x+
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/9.png)
=-[
![](http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112111803638329/SYS201312021121118036383015_DA/10.png)
又f(x)为增函数,∴f(x)在R上是单调增函数,
若“m+n≥0”可得m≥-n,可得f(m)≥f(-n),可得f(m)≥-f(n)即“f(m)+f(n)≥0”;
若“f(m)+f(n)≥0”,可得f(m)≥-f(n)=f(-n),∴m≥-n即m+n≥0,
∴“m+n≥0”是“f(m)+f(n)≥0”的充要条件故④正确.
故④正确,
故答案为:④
点评:此题是一道综合题,考查了二次函数的性质、向量平移的性质、函数的单调性及奇偶性的应用,是一道基础题,难度不大;
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