Question

下列说法中：
①函数y=lg（x²-ax-a）的值域为R，则a∈（-4，0）；
②O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)且λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定经过△ABC的内心；
③要得到函数y=f（1-x）的图象只需将y=f（-x）的图象向左平移1个单位；
④若函数f(x)=x+lo

g

2

(x+

x2+1

)，则“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要条件．
其中正确的序号是

④

．

Answer 1

分析：①函数y=lg（x²-ax-a）的值域为R，就是g（x）=ax²+ax+1的值域为[0，+∞），根据△≥0，进行求解；
②根据动点P满足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)进行移项，发现

AP

与

AB

+

AC

的关系进行判断；
③根据平移的性质进行判断，注意“左加右减”；
④已知函数f(x)=x+lo

g

2

(x+

x2+1

)，证明f（x）是奇函数又是增函数即可证明；

解答：解：①∵函数y=lg（x²-ax-a）的值域为R，
可得ax²+ax+1的值域为[0，+∞），
∴△≥0，即（-a）²-4×（-a）=a²+4a≥0，解得a≥0或a≤-4；故①错误；
②O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，
∴

AP

=λ（

AB

+

AC

），说明p在边BC的中线上，λ∈[0，+∞），
∴P的轨迹一定经过△ABC的重心，故②错误；
③y=f（-x）的图象向左平移1个单位可得y=f[-（x+1）]=f（-x-1），
故③错误；
④因为函数f(x)=x+lo

g

2

(x+

x2+1

)，f（-x）=-x+log2(-x+

(-x)2+1

)
=-[x+log2

1

x2+1 -x

]
=-[x+lo

g

2

(x+

x2+1

)]=-f（x），f（x）是奇函数，
又f（x）为增函数，∴f（x）在R上是单调增函数，
若“m+n≥0”可得m≥-n，可得f（m）≥f（-n），可得f（m）≥-f（n）即“f（m）+f（n）≥0”；
若“f（m）+f（n）≥0”，可得f（m）≥-f（n）=f（-n），∴m≥-n即m+n≥0，
∴“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要条件故④正确．
故④正确，
故答案为：④

点评：此题是一道综合题，考查了二次函数的性质、向量平移的性质、函数的单调性及奇偶性的应用，是一道基础题，难度不大；