题目内容

设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当x∈[ 2，3 ] 时， 222233．（1）求的解析式；（2）若在上为增函数，求的取值范围；（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

（Ⅰ）（2）6（3）不存在符合题意的


解析:

（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x3，      ∴………4分

  （2）由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x2＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x2，从而a＞(6x2)max=6．………8分

（3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值．

      令=2a-12x2=0，得．…10分 若∈，即0＜a≤6，则

， 故此时不存在符合题意的；

若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．

令2a-4=12，故a=8． 综上，存在a = 8满足题设．

练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并用单调性定义证明你的结论；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．
（1）证明f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）如果f（x-c），f（x-c2）的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；
（3）证明：若-1≤c≤2，则f（x-c），f（x-c2）存在公共的定义域，并求出这个公共的定义域．
已知下列命题四个命题：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0）上是增函数，θ∈(
π
4
，
π
2
)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要条件；
③设函数f（x）=x2+2（-2≤x＜0），其反函数为f-1（x），则f-1（3）=-1或1．
④在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b2+c2=a2+bc，则A=
π
3
．
其中真命题的个数有（　　）
（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．

设是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（     ）

A．（－1，0）∪（1，+）                B．（－1，0）∪（0，1）

C．（－，－1）∪（1，+）         D．（－，－1）∪（0，1）

 

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