Question

17．已知x₁，x₂为方程x²-2x+a=0的两根，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，若f（x₁）f（x₂）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分△=0与△＞0讨论，当△＞0时，利用x₁+x₂=2，x₁x₂=a，x₁²-2x₁+a=0，x₂²-2x₂+a=0化简f（x₁）f（x₂）＞0可得a（a²-3a+3）＞0，从而解得．

解答 解：（1）当△=4-4a=0，即a=1时，
x₁=x₂=1，f（x₁）f（x₂）=$（-\frac{2}{3}）^{2}$＞0，符合题意；
（2）当△=4-4a＞0，即a＜1时，
x₁+x₂=2，x₁x₂=a，x₁²-2x₁+a=0，x₂²-2x₂+a=0；
∴f（x₁）=$\frac{1}{3}$x₁³-x₁²+ax₁-a
=$\frac{1}{3}$x₁（2x₁-a）-（2x₁-a）+ax₁-a
=$\frac{2}{3}$x₁²-$\frac{1}{3}$ax₁-2x₁+a+ax₁-a
=$\frac{2}{3}$（2x₁-a）-$\frac{1}{3}$ax₁-2x₁+ax₁
=$\frac{2}{3}$（a-1）x₁-$\frac{2}{3}$a，
同理，f（x₂）=$\frac{2}{3}$（a-1）x₂-$\frac{2}{3}$a，
∴f（x₁）f（x₂）=[$\frac{2}{3}$（a-1）x₁-$\frac{2}{3}$a][$\frac{2}{3}$（a-1）x₂-$\frac{2}{3}$a]
=$\frac{4}{9}$（（a-1）²x₁x₂-a（a-1）（x₁+x₂）+a²）
=$\frac{4}{9}$（a（a-1）²-2a（a-1）+a²）＞0，
即a（a²-3a+3）＞0，
∴a＞0，
又∵a＜1，
∴0＜a＜1；
故实数a的取值范围为（0，1]．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及方程的根与系数的关系应用．