Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n≥2，均有3S_n-4、a_n、2-$\frac{3{S}_{n-1}-1}{2}$成等差数列，则数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{0，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知得当n≥2时，a_n=3S_n-3（n≥2）．从而得到a₂=0，2a_n+1=-a_n，n≥2，由此能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，
对任意n≥2，均有3S_n-4、a_n、2-$\frac{3{S}_{n-1}-1}{2}$成等差数列，
∴当n≥2时，2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1+$\frac{1}{2}$，∴a_n=3S_n-3（n≥2）．
∴a₂=3（1+a₂）-3，解得a₂=0，
∵a_n=3S_n-3（n≥2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{S}_{n}={a}_{n}+3}\\{3{S}_{n+1}={a}_{n+1}+3}\end{array}\right.$，∴3a_n+1=a_n+1-a_n，
∴2a_n+1=-a_n，n≥2，
∵a₂=0，∴a_n=0，n≥2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{0，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{0，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用．