Question

7．函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}}$的单调递减区间是[-1，1]．

Answer 1

分析 记u（x）=$\sqrt{-x^2+2x+3}$，当x∈[-1，1]时，u（x）单调递增，所以原函数单调第减．

解答 解：记u（x）=$\sqrt{-x^2+2x+3}$，
要使该函数式有意义，则-x²+2x+3≥0，解得x∈[-1，3]，
即原函数的定义域为[-1，3]，
又∵二次函数y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴该函数图象的对称轴为x=1，开口向下，
根据复合函数单调性判断规则，讨论如下：
①当x∈[-1，1]时，u（x）单调递增，f（x）=$（\frac{1}{3}）^{u（x）}$单调递减；
②当x∈[1，3]时，u（x）单调递减，f（x）=$（\frac{1}{3}）^{u（x）}$单调递增；
故填：[-1，1]

点评 本题主要考查了复合函数单调性的判断，涉及二次函数和指数函数的图象和性质，属于基础题．