Question

（2013•成都一模）对于实数a，b，定义运算?：a?b=

a，a-b≤0 b，a-b＞0

设函数f（x）=（x²-x+1）?（2x-1），其中x∈R
（I）求f（

3

）的值；
（II）若1≤x≤2，试讨论函数h（x）=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x+t（t∈R）的零点个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过求解不等式得到x²-x+1≤2x-1和x²-x+1＞2x-1的x的取值范围，从而写出分段函数f（x），直接代入后可求f（

3

）的值；
（Ⅱ）求函数h（x）=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x+t（t∈R）的零点个数，即求函数y=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x与函数y=x的交点个数，把函数f（x）的解析式代入后利用导数分析函数y=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x的极值点的情况，根据函数极值点的情况可得函数y=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x与函数y=x的交点个数，从而得到函数h（x）=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x+t（t∈R）的零点个数．

解答：解：（Ⅰ）由x²-x+1≤2x-1，即x²-3x+2≤0，解得：1≤x≤2，此时f（x）=x²-x+1；
由x²-x+1＞2x-1，即x²-3x+2＞0，解得：x＜1或x＞2．
∴f(x)=

x2-x+1，1≤x≤2 2x-2，x＜1或x＞2

．
∴f(

3

)=(

3

)2-

3

+1=4-

3

．
（Ⅱ）当1≤x≤2时，f（x）=x²-x+1，
h(x)=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x+t=

2

3

x(x2-x+1)+

1

6

x2-

5

3

x+t=

2

3

x3-

1

2

x2-x+t．
令g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-x，
则函数h（x）的零点个数，即为函数y=g（x）与函数y=-t的交点个数．
由g^′（x）=2x²-x-1=（2x+1）（x-1）．
当x∈（1，2）时，g^′（x）＞0，∴g（x）在（1，2）上单调递增．
又g(1)=

2

3

×13-

1

2

×12-1=-

5

6

，g(2)=

2

3

×23-

1

2

×22-2=

4

3

．
∴当-

5

6

≤-t≤

4

3

，即-

4

3

≤t≤

5

6

时，函数h（x）有一个零点；
当-t＜-

5

6

或-t＞

4

3

，即t＞

5

6

或t＜-

4

3

时，函数h（x）没有零点．
综上所述，当-

4

3

≤t≤

5

6

时，函数h（x）有一个零点；
当t＞

5

6

或t＜-

4

3

时，函数h（x）没有零点．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数零点个数的判断，一个函数零点的个数，就是该函数对应的方程的根的个数，此类问题往往转化为另外两个函数交点的个数来解决，是中档题．