题目内容

【题目】已知 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π.
(1)求证: 互相垂直;
(2)若k ﹣k 的长度相等,求β﹣α的值(k为非零的常数).

【答案】
(1)证明:由题意得: + =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)

=(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ)

∴( + )( )=(cosα+cosβ)(cosα﹣cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα﹣sinβ)

=cos2α﹣cos2β+sin2α﹣sin2β=1﹣1=0

+ 互相垂直


(2)证明:解:方法一:k + =(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),

﹣k =(cosα﹣kcosβ,sinα﹣ksinβ)

|k + |= ,| ﹣k |=

由题意,得4cos(β﹣α)=0,

因为0<α<β<π,

所以β﹣α=

方法二:由|k + |=| ﹣k |得:|k + |2=| ﹣k |2

即(k + 2=( ﹣k 2,k2| |2+2k +| |2=| |2﹣2k +k2| |2

由于| |=1,| |=1

∴k2+2k +1=1﹣2k +k2,故 =0,

即(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=0(10分)

即cosαcosβ+sinαsnβ=4cos (β﹣α)=0

因为0<α<β<π,

所以β﹣α=


【解析】(1)根据已知中向量 的坐标,分别求出向量 + 的坐标,进而根据向量数量积公式及同角三角函数的平方关系,可证得 互相垂直;(2)方法一:分别求出k ﹣k 的坐标,代入向量模的公式,求出k ﹣k 的模,进而可得cos(β﹣α)=0,结合已知中0<α<β<π,可得答案. 方法二:由|k + |=| ﹣k |得:|k + |2=| ﹣k |2 , 即(k + 2=( ﹣k 2 , 展开后根据两角差的余弦公式,可得cos(β﹣α)=0,结合已知中0<α<β<π,可得答案.

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