Question

11．若5${\;}^{{x}^{2}}$•5^x=25^y，则y的最小值是-$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 5${\;}^{{x}^{2}}$•5^x=25^y，即${5}^{{x}^{2}+x}$=5^2y，可得y=$\frac{1}{2}（{x}^{2}+x）$=$\frac{1}{2}（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵5${\;}^{{x}^{2}}$•5^x=25^y，
∴${5}^{{x}^{2}+x}$=5^2y，
∴y=$\frac{1}{2}（{x}^{2}+x）$=$\frac{1}{2}（x+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{8}$$≥-\frac{1}{8}$，当且仅当x=-$\frac{1}{2}$时取等号．
∴y的最小值为-$\frac{1}{8}$．
故答案为：-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了指数函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．