题目内容

是定义在D上的函数，若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是k型函数．给出下列说法：

①不可能是k型函数；

②若函数是1型函数，则的最大值为；

③若函数是3型函数，则；

④设函数(x≤0)是k型函数，则k的最小值为．

其中正确的说法为 ．（填入所有正确说法的序号）

 

【答案】

②③

【解析】

试题分析：由题意知.当存在直线与曲线至少有两个交点时，函数就是k型函数．对①，作出的图象即可知，是k型函数；

对②，若函数是1型函数，则有两个不同的解，即有两个不同的解.由得，所以（时取等号），所以的最大值为；

对③，若函数是3型函数，则，即；

对④，作出的图象，极值点，，，.由图可知，时，是型函数.

考点：1、新定义；2、函数的零点及最值.

 

练习册系列答案
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f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f1（x）=x2，f2(x)=
1x
(x＜0)中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设an=f（n），n=0，1，2，…，m，且a0=0，am=2m，记Sf=a1+a2+…+am．对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中Sf的最大值记为h（m），且h（1）+h（2）+…+h（m）≤a对任意给定的正整数m恒成立，试求a的取值范围．
设f（x）是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x1，x2（x1≠x2），恒有f（
1
3
x1+
2
3
x2）＜
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)，则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=x2是否为定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是R上的奇函数，试证明f（x）不是R上的C函数；
（Ⅲ）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数a∈[0，1]以及D中的任意两数x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），则称f（x）为定义在D 上的π函数．已知f（x）是R上的m函数．m是给定的正整数，设an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，记Sf=a1+a2+…+am．对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值．
设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x1，x2恒有f(
1
4
x1+
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4
x2)＜
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
（1）试判断f（x）=x2是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，记∫=a1+a2+a3+…+am，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．
（理）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，则称f（x）为定义在D上的下凸函数．
（1）试判断函数g（x）=2x（x∈R），k(x)=
1x
 (x＜0)是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；
（2）若h（x）=px2（x∈R）是下凸函数，求实数p的取值范围；
（3）已知f（x）是R上的下凸函数，m是给定的正整数，设f（0）=0，f（m）=2m，记Sf=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值．
f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：
①f(x)=3-
4
x
不可能是k型函数；
②若函数y=
(a2+a)x-1
a2x
(a≠0)是1型函数，则n-m的最大值为
2
3
3
；
③若函数y=-
1
2
x2+x是3型函数，则m=-4，n=0；
④设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为
4
9
．
其中正确的说法为
 
．（填入所有正确说法的序号）

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