Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，

Sn

n

)在直线y=x+4上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₄=8，前11项和为154．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

3

2(an-2)(2bn+5)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式Tn＞

k

75

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值；
（3）设f(n)=

an，(n=2l-1，l∈N*) bn，(n=2l，l∈N*).

是否存在m∈N^*，使得f（m+9）=3f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点在直线上，把点的坐标代入直线的方程得到数列的前n项和的表示式，由前n项和做出数列的通项，再得到第二个数列是一个等差数列，写出通项．
（2）构造新数列，把新数列的通项整理成可以应用裂项求和的形式，裂项求出和，证明和式的单调性，根据单调性做出和式的最值，根据数列的最值得到结论．
（3）根据所给的分段函数式，看出函数在自变量取奇数和偶数时的结果不同，因此要分类来解，在两种不同的条件下验证式子是否成立，得到不存在正整数m，使得f（m+9）=3f（m）成立．

解答：解：（1）由题意，得

Sn

n

=n+4，即S_n=n²+4n．
故当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3．
注意到n=1时，a₁=S₁=5，而当n=1时，n+4=5，
所以a=2n+3（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
所以b_n为等差数列，于是

11(b4+b8)

2

=154．
而b₄=8，故b₈=20，d=

20-8

4

=3，
因此，b_n=b₄+3（n-4）=3n-4，
即b_n=b₄+3（n-4）=3n-4（n∈N^*）．
（2）cn=

3

2(an-2)(2bn+5)

=

3

2[(2n+3)-2][2•(3n-4)+5]

=

3

2(2n+1)(6n-3)

=

1

2(2n+1)(2n-1)

=

1

2(2n-1)(2n+1)

．
所以，T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

4

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

4

(1-

1

2n+1

)=

n

4n+2

．
由于Tn+1-Tn=

n+1

4n+6

-

n

4n+2

=

1

(4n+6)(2n+1)

＞0
因此T_n单调递增，故T(Tn)min=

1

6

．
令

1

6

＞

k

75

，得k＜12

1

2

，所以k_max=12．
（3）f(n)=

2n+3(n=2l-1，l∈N*) 3n-4(n=2l，l∈N*)

①当m为奇数时，m+9为偶数．
此时f（m+9）=3（m+9）-4=3m+23，3f（m）=6m+9
所以3m+23=6m+9，m=

14

3

∉N*（舍去）
②当m为偶数时，m+9为奇数．
此时，f（m+9）=2（m+9）+3=2m+21，3f（m）=9m-12，
所以2m+21=9m-12，m=

33

7

∉N*（舍去）．
综上，不存在正整数m，使得f（m+9）=3f（m）成立．

点评：本题考查数列与函数的综合问题，本题解题的关键是构造新数列，利用数列的求和做出结果，再用函数的思想来解题，本题是一个综合题目，难度可以作为高考卷的压轴题．