Question

【题目】已知动点P与点的距离比它到直线的距离小1.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设P为直线上任一点，过点P作曲线C的切线，，切点分别为A，B，直线，与y轴分别交于M，N两点，点、的纵坐标分别为m，n，求证：m与n的乘积为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意分析，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，再根据抛物线的定义可求得抛物线方程；

（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为，再分别将直线、与抛物线方程联立，根据判别式等于0，得到，再根据、的方程得到，将与相乘，化简可得定值.

（1）∵点与的距离比它到直线的距离小1，

∴点与的距离与它到直线的距离相等，

∴点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以，

故抛物线的标准方程为.

（2）证明：设点的坐标为，

直线的方程为，直线的方程为.

据，得

所以，得.

同理，得，

所以，是方程的两个实根，

所以，

分别令，得，，

所以

.