题目内容
【题目】已知动点P与点
的距离比它到直线
的距离小1.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设P为直线
上任一点，过点P作曲线C的切线
，
，切点分别为A，B，直线，与y轴分别交于M，N两点，点
、
的纵坐标分别为m，n，求证：m与n的乘积为定值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意分析，
点的轨迹是以
为焦点，以
为准线的抛物线，再根据抛物线的定义可求得抛物线方程；
（2）设点的坐标为
，直线
的方程为
，直线
的方程为
，再分别将直线
、
与抛物线方程联立，根据判别式等于0，得到
，再根据、的方程得到
，将
与
相乘，化简可得定值.
（1）∵点与的距离比它到直线
的距离小1，
∴点与的距离与它到直线的距离相等，
∴点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以
，
故抛物线
的标准方程为.
（2）证明：设点的坐标为，
直线的方程为，直线的方程为.
据
，得
所以
，得
.
同理，得
，
所以
，
是方程
的两个实根，
所以，
分别令
，得
，
，
所以
.
【题目】为了解高新产业园引进的甲公司前期的经营状况，市场研究人员对该公司2019年下半年连续六个月的利润进行了统计，统计数据列表如下：
月份 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 | 12月 |
月份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
月利润（万元） | 110 | 130 | 160 | 150 | 200 | 210 |
（1）请用相关系数说明月利润y（单位：万元）与月份代码x之间的关系的强弱（结果保留两位小数），求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年1月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，己知生产新型材料的乙企业对A、B两种型号各100件新型材料进行模拟测试，统计两种新型材料使用寿命频数如下表所示：
使用寿命 材料类型 | 1个月 | 2个月 | 3个月 | 4个月 | 总计 |
A | 15 | 40 | 35 | 10 | 100 |
B | 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
现有采购成本分别为10万元/件和12万元/件的A、B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，经甲公司测算，平均每件新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每件新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率估计每件新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每件新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？
参考公式：相关系数
；
回归直线方程为
，其中
，
.
参考数据：
，
，
，
.
