Question

【题目】如图，已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为CE的中点．

（1）求直线AF与平面ACD所成的角；
（2）求证：平面BCE⊥平面DCE．

Answer 1

【答案】
（1）解：取CD的中点G，连接AG，FG，

则FG是△CDE的中位线，

∴FG∥DE，

又∵DE⊥平面ACD，

∴FG⊥平面ACD，

∴∠AFG为直线AF与平面ACD所成的角，

设AC=AD=CD=DE=2AB=2，

则FG= DE=1，AG= ，

∴tan∠AFG= = ，

∴∠AFG=60°，即直线AF与平面ACD所成的角为60°

（2）证明：∵AB⊥平面ACD，

∴AB⊥AC，AB⊥AD，AB⊥AG，

设AC=AD=CD=DE=2AB=2，

在直角梯形ABED中，BE= = ，BC= = ，

∴BC=BE，又F是CE的中点，

∴BF⊥CE，

∵AB DE，FG DE，

∴AB FG，

∴四边形ABFG是平行四边形，

又AB⊥AG，

∴四边形ABFG是矩形，

∴BF⊥FG，

又CE∩FG=F，

∴BF⊥平面CDE，

又BF平面BCE，

∴平面BCE⊥平面DCE．

【解析】（1）求线面角关键是求面的垂线，因此取CD的中点G，则FG∥DE，FG⊥平面ACD，所以∠AFG为直线AF与平面ACD所成的角，再放到平面三角形AGF中，即可；
（2）要证明面面垂直关键是线面垂直，因此只需证明BF⊥平面CDE，根据边的的关系可得三角形BCE是等腰三角形，则BF⊥CE；再根据四边形ABFG是是矩形，可得BF⊥FG；再根据线面垂直的判定定理，可得BF⊥平面CDE，及证。
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．